Question

已知正方形，、分别是、的中点,将△沿折起,如图所示,记二面角的大小为.

(I) 证明//平面;

(II)若△为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值

Answer 1

【解析】(I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,

EB//FD,且EB=FD,

四边形EBFD为平行四边形.

BF//ED

平面.

(II)解法1:

如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.

△ACD为正三角形,

AC=AD

CG=GD

G在CD的垂直平分线上,

点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的△AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF为直角三角形,

在Rt△ADE中,

.

解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.

△ACD为正三角形,F为CD的中点,

又因,

所以

又且

为A在平面BCDE内的射影G.

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以∠为二面角A-DE-C的平面角.即

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的△AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF为直角三角形,

在Rt△ADE中,

.

解法3: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.

△ACD为正三角形,F为CD的中点,

又因,

所以

又

为A在平面BCDE内的射影G.

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF为直角三角形,

在Rt△ADE中,

.