Question

已知函数f（x）满足f(logax)=

a

a2-1

(x-x-1)(a＞0，a≠1)，
（Ⅰ）求f（x）的解析式并判断其单调性；
（Ⅱ）对定义在（-1，1）上的函数f（x），若f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范围；
（Ⅲ）当x∈（-∞，2）时，关于x的不等式f（x）-4＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令log_ax=t，x＞0，则t∈R，x=a^t，代入得f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t），由此能求出f（x）的解析式并判断其单调性．
（2）由f（x）是奇函数，且是增函数，定义在（-1，1）上的函数f（x），f（1-m）+f（1-m²）＜0，知

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，由此能求出m的取值范围．
（3）由f（x）-4＜0，在区间（-∞，2）上恒成立，知f（x）_max＜4．由f（x）是增函数，令x=2，代入方程，得

a

a2-1

(a2-a-2)＜4．由此能求出a的范围．

解答：解：（1）令log_ax=t，x＞0，则t∈R，x=a^t，
代入得f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t），
将t换成x，得到表达式f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），x∈R．
∴f′（x）=

a

a2-2

（a^x㏑a+a^-xlna）
=

a

a2-1

×lna×（a^x+a^-x）＞0
∴函数f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），x∈R，是增函数．
（2）∵f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），x∈R，
∴f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x）．
∴函数f（x）是奇函数．
∵定义在（-1，1）上的函数f（x），f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∵f（x）是增函数，
∴

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，解得0＜m＜1．
∴m的取值范围是（1，

2

）．
（3）∵f（x）-4＜0，在区间（-∞，2）上恒成立，
∴f（x）＜4恒成立，∴f（x）_max＜4．
∵f（x）是增函数，
令x=2，代入方程，得

a

a2-1

(a2-a-2)＜4．
整理得a²-4a+1＜0，
解得-

3

+2＜a＜

3

+2
又∵a＞0且a≠1取交集，
∴a的范围是（-

3

+2，1）∪（1，

3

+2）．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数的单调性的判断，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．