分析 (1)可举$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{6}$,公差为-$\frac{1}{6}$;
(2)知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0,假设b1=1,确定b2,再确定公差d的范围,从而得到b1的范围,由b5>0,即可得到d的范围;
(3)运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式,可得a1=2d,求得k4=15,求得Sn=2n+1-n-2,再化简所求式子,运用放缩法,结合等比数列的求和公式,即可得证.
解答 解:(1)答案不唯一.如3项子列$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{6}$,公差为-$\frac{1}{6}$;
(2)证明:由题意,知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0,
所以d=b2-b1<0.
假设b1=1,
由{bn}为{an}的一个5项子列,得b2≤$\frac{1}{2}$,
所以d=b2-b1≤$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$.
因为b5=b1+4d,b5>0,
所以4d=b5-b1=b5-1>-1,即d>-$\frac{1}{4}$.
这与d≤-$\frac{1}{2}$矛盾.
所以假设不成立,即b1≠1.
所以b1≤$\frac{1}{2}$,
因为b5=b1+4d,b5>0,
所以4d=b5-b1≥b5-$\frac{1}{2}$>-$\frac{1}{2}$,即d>-$\frac{1}{8}$,
综上,得-$\frac{1}{8}$<d<0;
(3)设{an}是公差d不为0的等差数列,
由a1,a3,a7成等比数列,可得a1a7=a32,
即为a1(a1+6d)=(a1+2d)2,
即有a1=2d,(d≠0),
则an=(n+1)d,
等比数列的公比为q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=$\frac{4d}{2d}$=2,
即有k4=24-1=15,可得kn=2n-1,
又Sn=k1+k2+…+kn=(2+4+8+…+2n)-n
=2n+1-n-2,
则$\frac{6}{{3}^{n+1}({S}_{n}+n+2)-12}$=$\frac{6}{{3}^{n+1}•{2}^{n+1}-12}$=$\frac{6}{{6}^{n+1}-12}$=$\frac{1}{{6}^{n}-2}$,
由$\frac{1}{{6}^{n}-2}$<$\frac{1}{{5}^{n}}$,即有$\frac{6}{{3}^{2}({S}_{1}+1+2)-12}$+$\frac{6}{{3}^{3}({S}_{2}+2+2)-12}$+$\frac{6}{{3}^{4}({S}_{3}+3+2)-12}$+…+$\frac{6}{{3}^{n+1}({S}_{n}+n+2)-12}$<$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{25}$+…+$\frac{1}{{5}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{5}(1-\frac{1}{{5}^{n}})}{1-\frac{1}{5}}$<$\frac{1}{4}$<$\frac{97}{340}$.
点评 本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,以及不等式的证明,注意运用放缩法,考查推理能力,属于中档题.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $[{-1,\frac{1}{2}}]$ | B. | $[{-2,\frac{1}{2}}]$ | C. | [-1,0] | D. | [-2,0] |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 4 | D. | 8 |
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