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14.若函数f(x)=|ax-2|+lnx-$\frac{1}{x}$,(a≥2)在(0,1]上没有零点.则实数a的取值范围是[2,3).

分析 将问题转化为两函数g(x)=|ax-2|,h(x)=$\frac{1}{x}$-lnx的图象在(0,1]无交点,再通过分类讨论和数形结合得出a的范围.

解答 解:根据题意,记g(x)=|ax-2|,h(x)=$\frac{1}{x}$-lnx,
则f(x)=g(x)-h(x),根据题意需对a进行讨论,
①当a=2,x∈(0,1]时,g(x)=2-2x,此时,
g(x)<h(x)恒成立,即f(x)<0在(0,1]恒成立,
所以,f(x)在(0,1]内无零点,符合题意,
②当a>2,所以$\frac{2}{a}$∈(0,1),
因此,g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+2,x∈(0,\frac{2}{a}]}\\{ax-2,x∈(\frac{2}{a},1]}\end{array}\right.$,
函数g(x)先减后增,如右图,
当x∈(0,1]时,h(x)=$\frac{1}{x}$-lnx单调递减,所以h(x)min=h(1)=1,
要使f(x)在(0,1]上无零点,则只需h(x)>g(x)恒成立,
再结合函数图象,只需满足条件h(1)>g(1)即可,
所以,1>a-2,解得a<3,
综合①②讨论,实数a的取值范围为[2,3),
故答案为:[2,3).

点评 本题主要考查了函数零点的判断,函数的图象与性质,涉及函数的单调性和最值,以及分段函数的求解,属于中档题.

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