Question

6．对于任意的三个正数a，b，c，求证：a+b+c≥$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$，并指出等号成立的条件．

Answer 1

分析 由正数a，b，c，运用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$，b+c≥2$\sqrt{bc}$，c+a≥2$\sqrt{ca}$，相加即可得证，且a=b=c，取得等号．

解答 证明：任意的三个正数a，b，c，
由a+b≥2$\sqrt{ab}$，
b+c≥2$\sqrt{bc}$，
c+a≥2$\sqrt{ca}$，
相加可得，
a+b+c≥$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$．
当且仅当a=b=c，取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查推理能力，属于基础题．