Question

在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AB=AC=AA′=2，BC=2

3

，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的表面积为

20π

．

Answer 1

分析：在△ABC中结合正余弦定理，算出它的外接圆半径R=2，设三棱柱外接球的球心为O，△ABC的外接圆心为O₁，在Rt△AOO₁中利用勾股定理算出OA的长，即为外接球的半径，最后根据球的表面积公式，可得三棱柱外接球的表面积．

解答：解：∵△ABC中，AB=AC=2，BC=2

3

∴cos∠BAC=

22+22-(2 3 )2

2×2×2

=-

1

2

，结合∠BAC∈（0，π）得∠BAC=120°
再根据正弦定理，得△ABC的外接圆直径2R=

BC

sinA

=4，即R=2
设三棱柱外接球的球心为O，△ABC的外接圆心为O₁，则OO₁=

1

2

AA'=1
可得OA=

R2+OO12

=

5

∴外接球的表面积为S=4π•OA²=20π
故答案为：20π

点评：本题给出特殊三棱柱，求它的外接球表面积，着重考查了直三棱柱的性质、球的表面积公式和多面体的外接球等知识，属于基础题．