Question

已知两个同心圆，其半径分别为a，b（a＞b），AB为小圆上的一条定直径，则以大圆的切线l为准线，且过A、B两点的抛物线焦点F的轨迹方程为（　　）（以线段AB所在直线为x轴，其中垂线为y轴建立平面直角坐标系）

• A、

  x2

  a2

  +

  y2

  a2-b2

  =1(x≠±a)
• B、

  x2

  a2

  -

  y2

  a2-b2

  =1(x≠±a)
• C、

  y2

  a2

  +

  x2

  a2-b2

  =1(x≠±a)
• D、

  y2

  a2

  -

  x2

  a2-b2

  =1(x≠±a)

Answer 1

分析：根据题意作出图形，由抛物线的定义、梯形中位线定理与圆的切线的性质，推出点F到A、B两点的距离之和等于2a，所以点F的轨迹是以以A、B为焦点的椭圆，进而算出F点的轨迹方程．

解答：解：设A、B、O在准线l上的射影分别为C、D、G，连线AC、BD、AF、BF、OG，则点F在OG上．
根据抛物线的定义，可得|AF|=|AC|且|BF|=|BD|，
∴|AF|+|BF|=|AC|+|BD|，
∵直线l切大圆于G点，∴OG⊥l，OG=a．
梯形ABDC中利用中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|OG|=2a，
又∵A（-b，0），B（b，0）是x轴上两个定点，
∴点F到A、B两个定点的距离之和等于2a＞2b，
根据椭圆的定义可得点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
该椭圆的短半轴为b'，则b'=

a2-b2

，
该椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

a2-b2

=1，由于点G在x轴上时F、G重合，不能作出抛物线，所以x≠±a．
因此可得动点F的轨迹方程为

x2

a2

+

y2

a2-b2

=1(x≠±a)．
故选：A

点评：本题给出动点F满足的条件，求F的轨迹方程．着重考查了直线与圆相切的性质、梯形的中位线定理、椭圆与抛物线的定义等知识，考查了动点轨迹方程求法，属于中档题．