Question

11．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，点E是SB的中点，∠SBC=45°，SC=SB=2$\sqrt{2}$，△ACD为等边三角形．
（Ⅰ）求证：SD∥平面ACE；
（Ⅱ）求二面角D-SC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，则OE∥SD，由此能证明SD∥平面ACE．
（Ⅱ）取BC中点G，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向是量法能求出二面角D-SC-B的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵底面ABCD为平行四边形，∴O是BD中点，
∵点E是SB的中点，∴OE∥SD，
∵SD?平面ACE，OE?平面ACE，
∴SD∥平面ACE．
解：（Ⅱ）取BC中点G，连结SG，AG，
∵∠SBC=45°，SC=SB=2$\sqrt{2}$，△ACD为等边三角形，
∴SG⊥平面ABCD，AG⊥BC，
以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GS为z轴，建立空间直角坐标系，
S（0，0，$\sqrt{2}$），C（0，-$\sqrt{2}$，0），D（$\sqrt{6}$，-2$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{CD}$=（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{CS}$=（0，$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
设平面SCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\sqrt{6}x-\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CS}=\sqrt{2}y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
平面SCB的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角D-SC-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角D-SC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．