Question

【题目】已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于 ，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 ，直线，l：y=kx+m与y轴交干点P，与椭圆E相交于A、B两个点． （Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若 =3 ，求m2的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）设椭圆的方程为 + =1（a＞b＞0）， 由题意可得e= = ，4 =4 ，
a2﹣b2=c2 ，
解得a=2，b=1，c= ，
即有椭圆的方程为 +x2=1；
（Ⅱ）由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由 =3 ，可得﹣x1=3x2 ， ①
由直线y=kx+m代入椭圆方程y2+4x2=4，
可得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0，
即有x1+x2=﹣ ，x1x2= ，②
由①②可得m2= =1+ ，
由1+k2≥1，可得0＜ ≤3，
即有1＜m2≤4，由于m∈（﹣2，2），
可得m2的取值范围是（1，4）．
【解析】（I）设椭圆的方程为 + =1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），运用向量共线的坐标表示和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得m2= =1+ ，再由不等式的性质，可得所求范围．