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已知抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程为y=-1.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设F是抛物线的焦点,直线l:y=kx+b(k≠0)与抛物线交于A,B两点,记直线AF,BF的斜率之和为m.求常数m,使得对于任意的实数k(k≠0),直线l恒过定点,并求出该定点的坐标.
分析:(Ⅰ)将y=ax2,化为标准方程为x2=
1
a
y
,利用抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程,即可求得抛物线C的方程;(Ⅱ)直线方程与抛物线方程联立
y=kx+b
x2=4y
,得x2-4kx-4b=0.利用韦达定理及直线AF,BF的斜率之和为m,可得直线l:y=kx+
k
m-k
,进而令xk2-(mx+y+1)k+my=0对任意的k(k≠0)恒成立,即可求得直线l过定点.
解答:解:(Ⅰ)将y=ax2,化为标准方程为x2=
1
a
y

∴抛物线C的准线方程为:y=-
1
4a
.  
∵抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程为y=-1                      …(3分)
-
1
4a
=-1
,解得a=
1
4

∴抛物线C的方程是x2=4y.                                    …(6分)
(Ⅱ)F(0,1),设A(x1
x
2
1
4
)
,B(x2
x
2
2
4
)

y=kx+b
x2=4y
,得x2-4kx-4b=0.
∴x1+x2=4k,x1x2=-4b,△=16k2+16b>0.                  …(8分)
kAF+kBF=
x
2
1
4
-1
x1
+
x
2
2
4
-1
x2
=
x
2
1
x2-4x2+x22x1-4x1
4x1x2
=
(x1+x2)(x1x2-4)
4x1x2

=
4k(-4b-4)
4(-4b)
=
k(b+1)
b
=m
.                               …(10分)
b=
k
m-k
.∴直线l:y=kx+
k
m-k

令xk2-(mx+y+1)k+my=0对任意的k(k≠0)恒成立.             …(12分)
x=0
mx+y+1=0
my=0
,解得
x=0
y=-1
m=0

所以,m=0,直线l过定点(0,-1).                           …(15分)
点评:本题考查抛物线的标准方程与性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查直线恒过定点,解题的关键是求出直线方程,利用方程对任意的k(k≠0)恒成立,建立方程组.
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A、(
3
,   2
3
)
B、(
3
,   +∞)
C、(0,   
3
)
D、(2,   2
3
)

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8
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