Question

已知双曲线C：2x²-y²=2与点P（1，2）
（1）求过P（1，2）点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点．
（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在．

Answer 1

分析：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-1），代入C的方程，并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0，然后进行分类讨论，把直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题进行求解．
（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2两式相减得．2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），再由点差法进行求解．

解答：解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-1），代入C的方程，
并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0 （^*）
（ⅰ）当2-k²=0，即k=±

2

时，方程（^*）有一个根，l与C有一个交点
（ⅱ）当2-k²≠0，即k≠±

2

时
△=[2（k²-2k）]²-4（2-k²）（-k²+4k-6）=16（3-2k）
①当△=0，即3-2k=0，k=

3

2

时，方程（^*）有一个实根，l与C有一个交点．
②当△＞0，即k＜

3

2

，又k≠±

2

，
故当k＜-

2

或-

2

＜k＜

2

或

2

＜k＜

3

2

时，方程（^*）有两不等实根，l与C有两个交点．
③当△＜0，即k＞

3

2

时，方程（^*）无解，l与C无交点．
综上知：当k=±

2

，或k=

3

2

，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当

2

＜k＜

3

2

，或-

2

＜k＜

2

，或k＜-

2

时，l与C有两个交点；
当k＞

3

2

时，l与C没有交点．
（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，
且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
两式相减得2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）
又∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
∴2（x₁-x₂）=y₁-y₁  
即k_AB=

y1-y2

x1-x2

=2，
但渐近线斜率为±

2

，
结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，
即以Q为中点的弦不存在．

点评：第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题．第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法--“点差法”，涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化．具体涉及到二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式．易错点：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论．第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了．