Question

为迎接校庆，学校准备投入a元建造一个花圃（如图）．已知矩形ABCD的造价为40元/m²，其余的两个半圆及两个圆的造价为20元/m²．两圆的直径分别为矩形的长和宽，由于矩形ABCD要种名贵花卉，故建造时要求矩形ABCD的面积越大越好．那么，当矩形ABCD的面积达到最大时，

AD

AB

=

 

Answer 1

分析：利用已知将花圃的造价用边AB、AD表示，列出方程，利用基本不等式求出两边乘积的最大值是满足的条件．

解答：解：设AD=x，AB=y，矩形ABCD的面积为S，则a=40xy+10πx²+5πy²，S=xy
∵a=40xy+10πx²+5πy²≥（40+10π

2

）xy
∴xy≤

a

40+10 2 π

当且仅当10πx²=5πy²即

x

y

=

2

2

取等号
故当矩形ABCD的面积达到最大时，

AD

AB

=

2

故答案为

2

点评：本题考查建立数学模型的能力、利用基本不等式求函数的最值需注意条件：一正、二定、三相等．