Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为P（0，1），过C的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C上，该菱形对角线BD所在直线的斜率为-1．
（1）求椭圆∑的方程；
（2）当直线BD过点（1，0）时，求直线AC的方程；
（3）当∠ABC=时，求菱形ABCD面积的最大值．

Answer 1

解：（1）依题意，b=1，
解，得|y|=，
所以，a=2，
椭圆E的方程为．
（2）直线BD：y=-1×（x-1）=-x+1，
设AC：y=x+b，
由方程组得，
当时，
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）的中点坐标为=-，，
ABCD是菱形，所以AC的中点在BD上，所以
解得，满足△=5-b²＞0，所以AC的方程为y=x-．
（3）因为四边形ABCD为菱形，且，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面积，
由（2）可得AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₂）²=2，
AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=2（x₂-x₁）²=2（x₂+x₁）²-8x₁x₂=2×=，
因为，所以当且仅当b=0时，菱形ABCD的面积取得最大值，最大值为．
分析：（1）依题意，b=1，解，得|y|=，所以，由此能求出椭圆E的方程．
（2）直线BD：y=-1×（x-1）=-x+1，设AC：y=x+b，由方程组得，再由根的判别式、中点坐标公式和菱形的性质能推导出AC的方程．
（3）因为四边形ABCD为菱形，且，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面积，由AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=2（x₂-x₁）²=2（x₂+x₁）²-8x₁x₂=，能推导出当且仅当b=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用根的判别式、中点坐标公式和菱形的性质，结合椭圆的性质注意合理地进行等价转化．