Question

已知点P在椭圆

x2

16

+

y2

9

=1上，求一点P，使它到两焦点的距离之积等于短半轴的平方，则P点坐标为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出P到两焦点的距离，利用椭圆的第二定义，即可求出P点坐标．

解答： 解：设P到两焦点的距离分别为m，n，则m+n=10，
∵P到两焦点的距离之积等于短半轴的平方，
∴mn=16，
∴m=8，n=2．或者m=2，n=8，
椭圆的左准线：x=-

25

3

右准线：x=

25

3

，离心率e=

3

5

，
当m=8，n=2时，PF₁=8，设P到准线的距离为d．因为

PF1

d

=e 所以d=

40

3

．
所以P点横坐标x=

40

3

-

25

3

=5，代入得P点纵坐标为4或-4，所以P（5，4）或（5，-4）
同理，当m=2，n=8时，P为（-5，4）或（-5，-4）．
所以P的坐标（5，4）或（5，-4）或（-5，4）或（-5，-4）．
故答案为：（5，4）或（5，-4）或（-5，4）或（-5，-4）．

点评：本题考查椭圆的定义域性质，考查椭圆的第二定义，正确运用椭圆的第二定义是关键．