Question

7．已知a＞0，a≠1，设p：函数y=a^x在x∈（-∞，+∞）上单调递减，q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：利用指数函数的单调性即可得出a的取值范围；对于命题q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴有两个不同的交点等价于△＞0，解得a的范围．由于“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，可得p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：对于命题p：当0＜a＜1时，函数y=a^x在x∈（-∞，+∞）内单调递减，
当a＞1时，函数y=a^x在x∈（-∞，+∞）内不是单调递减．
对于命题q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴有两个不同的交点等价于△=（2a-3）²-4＞0，
即$a＜\frac{1}{2}$或$a＞\frac{5}{2}$． 
∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
∴p与q必然一真一假，
①若p正确，且q不正确，则$a∈（{0，1}）∩（{[{\frac{1}{2}，1}）∪（{1，\frac{5}{2}}]}）$，即$a∈[{\frac{1}{2}，1}）$；
②若p不正确，且q正确，则$a∈（{1，+∞}）∩（{（{0，\frac{1}{2}}）∪（{\frac{5}{2}，+∞}）}）$，即$a∈（{\frac{5}{2}，+∞}）$．
综上，a的取值范围为$[{\frac{1}{2}，1}）∪（{\frac{5}{2}，+∞}）$．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、指数函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．