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7.已知a>0,a≠1,设p:函数y=ax在x∈(-∞,+∞)上单调递减,q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求a的取值范围.

分析 对于命题p:利用指数函数的单调性即可得出a的取值范围;对于命题q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴有两个不同的交点等价于△>0,解得a的范围.由于“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,可得p与q必然一真一假,即可得出.

解答 解:对于命题p:当0<a<1时,函数y=ax在x∈(-∞,+∞)内单调递减,
当a>1时,函数y=ax在x∈(-∞,+∞)内不是单调递减.
对于命题q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴有两个不同的交点等价于△=(2a-3)2-4>0,
即$a<\frac{1}{2}$或$a>\frac{5}{2}$. 
∵“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,
∴p与q必然一真一假,
①若p正确,且q不正确,则$a∈({0,1})∩({[{\frac{1}{2},1})∪({1,\frac{5}{2}}]})$,即$a∈[{\frac{1}{2},1})$;
②若p不正确,且q正确,则$a∈({1,+∞})∩({({0,\frac{1}{2}})∪({\frac{5}{2},+∞})})$,即$a∈({\frac{5}{2},+∞})$.
综上,a的取值范围为$[{\frac{1}{2},1})∪({\frac{5}{2},+∞})$.

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、指数函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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