Question

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=36°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
（3）若点C平分优弧AB，且BC²=3OA²，试求α的度数．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据三角形外心的性质可知：OA=OB；则在等腰△AOB中∠OBA=∠OAB；则再根据三角形内角和定理可以求得∠AOB的度数；最后根据圆周角定理可以求得β的度数；
（2）由（1）可猜想α与β之间的关系是α+β=90°；同（1）一样∠OBA=∠OAB=α，则∠AOB=180°-2α，β=∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB，所以可求β=$\frac{1}{2}$（180°-2α）=90°-α，则α+β=90度；
（3）证明AC=BC=$\sqrt{3}$OA，过O作OK⊥AC于K，连接OC，由垂径定理可知：AK=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA，可得∠CAO=30°，∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°，△ABC为正三角形，即可求α的度数．

解答 解：（1）连接OB，则OA=OB；∵∠OAB=36°，∴∠OBA=∠OAB=36°，
∵∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA，∴∠AOB=180°-36°-36°=108°，
∴β=∠C=∠AOB=54°．                                      …（3分）
（2）α与β之间的关系是α+β=90°；证明：∵∠OBA=∠OAB=α，∴∠AOB=180°-2α，
∵β=∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB，∴β=$\frac{1}{2}$（180°-2α）=90°-α，∴α+β=90°．…（6分）
（3）∵点C平分优弧AB，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$
∴AC=BC，
又∵BC²=3OA²，∴AC=BC=$\sqrt{3}$OA，
过O作OK⊥AC于K，连接OC，由垂径定理可知：AK=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA，∴∠CAO=30°
易得：∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°，∴△ABC为正三角形，
则：α=∠CAB-∠CAO=30°                                          …（10分）

点评 本题考查了三角形的外接圆的性质以及圆周角定理．要熟练掌握这些性质定理才能灵活运用．