Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，AA₁=，M为棱A₁A上的点，若A₁C⊥平面MB₁D₁．
（Ⅰ）确定点M的位置；
（Ⅱ）求二面角D₁-MB₁-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：方法一（Ⅰ）连结A₁D，证明△A₁MD₁∽△D₁A₁D，通过计算确定点M的位置；
（Ⅱ）引A₁E⊥B₁M于E，连结D₁E，则A₁E是D₁E在平面BA₁上的射影，说明∠A₁ED₁是二面角D₁-MB₁-B的平面角的补角，通过解三角形求二面角D₁-MB₁-B的大小．
方法二（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积求解点M的位置；
（Ⅱ）求出两个平面的法向量，利用空间向量的数量积求二面角D₁-MB₁-B的大小．
解答：解：（方法一）
（Ⅰ）连结A₁D，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁为矩形，
∵A₁C⊥平面MB₁D₁，
∴A₁C⊥D₁M，
因此A₁C在平面AD₁上的射影A₁D⊥D₁M，
∴△A₁MD₁∽△D₁A₁D，
∴A₁M=，因此M是A₁A的中点．…（6分）
（Ⅱ）引A₁E⊥B₁M于E，连结D₁E，则A₁E是
D₁E在平面BA₁上的射影，由三垂线定理可
知D₁E⊥B₁M，
∴∠A₁ED₁是二面角D₁-MB₁-B的平面角的补角，
由（Ⅰ）知，A₁M=，则，
∴，
∴二面角D₁-MB₁-B等于．…（12分）
（方法二）
如图，在正四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立空间直角坐标系A-xyz，AB=2，AA₁=2，则
C（2，2，0），D（0，2，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），D₁（0，2，2），
设M（0，0，Z），则=（0，2，2），=（2，2，），…（3分）
（Ⅰ）∵A₁C⊥平面MB₁D₁，
∴A₁C⊥D₁M，∴，
∴，
∴，∴，
因此M是A₁A的中点．…（6分）
（Ⅱ）∵A₁C⊥平面MB₁D₁，
∴是平面MB₁D₁的一个法向量．
又平面A₁B的一个法向量为，…（8分）
∴cos＜＞．
∵二面角D₁-MB₁-B是钝二面角．…（11分）
∴二面角D₁-MB₁-B等于．…（12分）
点评：本题考查空间想象能力以及计算能力，立体几何问题的解法有两种思路，一是几何法，一是向量法，注意解题时合理选择方法，做到简便快捷．