Question

给出下列命题：
A．函数f（x）=2^x-x²的零点有3个
B.(x+

1

x

+2)5展开式的常数项等于32
C．函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=

∫

π -π

sinxdx
D．复数z₁，z₂与复平面的两个向量

OZ1

，

OZ2

相对应，则

OZ1

•

OZ2

=z1•z2
其中真命题的序号是

 

（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

分析：A：考查的是函数零点的个数判定问题．在解答时，可先结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．继而问题可获得解答．
B：先判断出展开式的常数项是怎样形成的，再利用分步计数原理求出展开式中整理后的常数项．
C：根据定积分几何意义直接可得答案．
D：考查向量的数量积与复数乘法的区别即可解答．

解答：解：对于A：由题意可知：要研究函数f（x）=x²-2^x的零点个数，只需研究函数y=2^x，y=x²的图象交点个数即可．
画出函数y=2^x，y=x²的图象，由图象可得有3个交点．故选A．
对于B：据展开式项的形成知：展开式的常数项由三类：5个括号全出 2为 2⁵=32；
5个括号2个出 x，2个出

1

x

，一个出 2及5个括号1个出 x，一个出

1

x

，3个出 2．开式中整理后的常数项大于 32，故B错；
对于C：根据定积分几何意义：表示函数图象与x轴围成的图形面积的代数，故其是错误的．
D：根据向量的数量积与复数乘法是不同的两个概念，故D错．
故答案为：A

点评：本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．还考查利用分步计数原理求展开式的特定项问题，三角函数的定积分的有关问题．要熟练掌握基本函数的定积分公式．