Question

12．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ²（1+sin²θ）=2．
（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）已知点P（1，0），当α=$\frac{π}{4}$时，直线l与曲线C交于A，B两点，当α=$\frac{3π}{4}$时，直线l与曲线C交于E，F两点，求|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|+|$\overrightarrow{PE}$|•|$\overrightarrow{PF}$|的值．

Answer 1

分析 （I）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程：y=（x-1）tanα．曲线C的极坐标方程是ρ²（1+sin²θ）=2，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
即可判断出位置关系．
（II）当α=$\frac{π}{4}$时，直线l的方程为y=x-1，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得交点坐标，可得|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|．同理可得|$\overrightarrow{PE}$|•|$\overrightarrow{PF}$|．

解答 解：（I）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程：y=（x-1）tanα．
曲线C的极坐标方程是ρ²（1+sin²θ）=2，化为x²+y²+y²=2，即$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
由于直线l经过定点（1，0），在椭圆C的内部，因此直线l与曲线C的相交．
（II）当α=$\frac{π}{4}$时，直线l的方程为y=x-1，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
∴|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$×$\sqrt{（\frac{4}{3}-1）^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
当α=$\frac{3π}{4}$时，直线l的方程为y=-x+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
同理可得|$\overrightarrow{PE}$|•|$\overrightarrow{PF}$|=$\frac{2}{3}$．
∴|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|+|$\overrightarrow{PE}$|•|$\overrightarrow{PF}$|=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了直线的参数极坐标方程化为直角坐标方程的方法、直线与曲线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．