Question

已知函数f（x）=b•a^x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x+1-2m≥0在x∈（-∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=b•a^x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24），知

a•b=6 b•a3=24

，由此能求出f（x）．
（2）设g（x）=（

1

a

）^x+（

1

b

）^x=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x，则y=g（x）在R上是减函数，故当x≤1时，g（x）_min=g（1）=

5

6

．由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=b•a^x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24），
∴

a•b=6 b•a3=24

，解得a=2，b=3，
∴f（x）=3•2^x．
（2）设g（x）=（

1

a

）^x+（

1

b

）^x=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x，
∴y=g（x）在R上是减函数，
∴当x≤1时，g（x）_min=g（1）=

5

6

．
∴（

1

a

）^x+（

1

b

）^x+1-2m≥0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即2m-1≤

5

6

，
解得m≤

11

12

．
故实数m的取值范围是（-∞，-

11

2

]．

点评：本题考查函数解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．