Question

（2010•邯郸二模）将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体．
（Ⅰ）从这些小正方体中任取1个，求其中至少有两面涂有颜色的概率；
（Ⅱ）从中任取2个小正方体，记2个小正方体涂上颜色的面数之和为ξ．求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）锯成的27个小正方体中，有三面有色的有8个，二面有色的有12个，一面有色的有6个，没有色的有1个．其中至少有两面涂颜色包括两面涂色的和三面涂色的两种情况，这两种情况是互斥的．
（II）从中任取2个小正方体，2个小正方体涂上颜色的面数之和是ξ，由题意可得：ξ可能取的值为：1，2，3，4，5，6．再结合题意分布求出其发生的概率得ξ的分布列，进而求出ξ的数学期望．

解答：解：依题意可知，锯成的27个小正方体中，有三面有色的有8个，二面有色的有12个，一面有色的有6个，没有色的有1个．…（3分）
（Ⅰ） 从这些小正方体中任取1个，含有面数为i的事件为A_i（i=0，1，2，3），
则其中至少有两面涂颜色的概率P=P（A₂）+P（A₃）=

12

27

+

8

27

=

20

27

；…（6分）
（Ⅱ）根据题意，ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4	5	6
P	6 351	27 351	80 351	114 351	96 351	28 351

…（10分）
ξ的数学期望为Eξ=1×

6

351

+2×

27

351

+3×

80

351

+4×

114

351

+5×

96

351

+6×

28

351

=4．…（12分）

点评：本题考查等可能事件的概率和互斥事件的概率，离散型随机变量及其分布列．本题解题的关键是对于所给的各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，锯开后包括的各种结果的小正方形的个数．