Question

已知函数f（x）=ax²-bx+1，
（Ⅰ）是否存在实数a，b使f（x）＞0的解集是（3，4），若存在，求实数a，b的值，若不存在请说明理由．
（Ⅱ）若a＜0，b=a-2，且不等式f（x）≠0在（-2，-1）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）不等式ax²-bx+1＞0的解集是（3，4）
故方程ax²-bx+1=0的两根为3，4，
则是3+4=，3×4=
∴a=，b=
而当a=时，a＞0，
不等式ax²-bx+1＞0的解集是（-∞，3）∪（4，+∞）满足要求
故不存在实数a，b使f（x）＞0的解集是（3，4）．
（II）∵a＜0，b=a-2，
∴f（x）=ax²-（a-2）x+1，
又∵不等式f（x）≠0在（-2，-1）上恒成立，
又∵函数f（x）=ax²-（a-2）x+1是开口方向朝下，以x=为对称轴的抛物线
∴函数f（x）在（-2，-1）上单调递增
∴f（-2）≥0或f（-1）≤0
解得a＜0，所以a∈（-∞，0）（15分）
分析：（I）由已知中f（x）＞0的解集是（3，4），我们易根据不等式、函数、方程之间的辩证关系，得到方程ax²-bx+1=0的两根为3，4，进而根据韦达定理求出满足条件的求出满足实数a，b的值，再结合一元二次不等式解集与系数的关系，得到结论．
（II）根据a＜0，b=a-2，我们易判断出函数f（x）图象的形状及在区间（-2，-1）上的单调性，进而根据函数恒成立问题，构造关于a的不等式组，解不等式组，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是一元二次不等式与一元二次方程，二次函数的性质，其中熟练掌握二次函数，一元二次不等式与一元二次方程，之间的转化关系是解答本题的关键．