Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=

n2+3n

2

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=bn=

an(n为奇数) 2n(n为偶数)

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）某学生利用第（2）题中的T_n设计了一个程序框图如图所示，但数学老师判断这个程序是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意老师的观点？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，检验n=1时，是否也满足n≥2时，a_n=S_n-S_n-1得到的式子，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）根据已知求出数列{b_n}的通项公式，利用分组求和法，可得数列{b_n}的前n项和为T_n；
（3）根据（2）中前n项和为T_n的表达式，判断循环条件：T_n-P=2009是否会成立，可得答案．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n2+3n

2

-

(n-1)2+3(n-1)

2

=n+1，
当n=1时，有a₁=1+1=2满足题意，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）当n为偶数时T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）
=

a1+an-1

2

•

n

2

+

4(1-2n)

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

（2ⁿ-1）．
当n为奇数时，n+1为偶数，
则T_n+1=

(n+1)2+2(n+1)

4

+

4

3

（2ⁿ⁺¹-1）
=

n2+4n+3

4

+

4

3

（2ⁿ⁺¹-1），
而T_n+1=T_n+b_n+1=T_n+2ⁿ⁺¹，
∴T_n=

n2+4n+3

4

+

1

3

•2ⁿ⁺¹-

4

3

．
（3）由程序框图知，P=

n2

4

+24n．
设数列{d_n}的通项公式为d_n=T_n-P（n∈N^*），
当n为奇数时，d_n=

1

3

•2ⁿ⁺¹-23n-

7

12

，令d_n+2-d_n=2ⁿ⁺¹-46＞0，则n≥5，
∴从第5项开始数列{d_n}中的奇数项递增，而d₁，d₃，…，d₁₁均小于2 009且d₁₃＞2 009，
∴d_n≠2 009．当n为偶数时，d_n=

2

3

•2ⁿ⁺¹-

47

2

n-

4

3

，令d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47＞0，则n≥4，
∴从第4项开始数列{d_n}中的偶数项递增，而d₂，d₄，…，d₁₀均小于2 009且d₁₂＞2 009，
∴d_n≠2 009（n∈N^*）．故d_n≠2 009，即T_n-P≠2 009（n∈N^*），
即程序为死循环，所以老师的判断是正确的．

点评：本题考查的知识点是数列求和，程序框图，其中（1）中数列的通项公式是（2）中数列求和的基础，（2）中数列求和又是判断循环条件的基础．