Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+|x+1-2a|，其中a是实数．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，f（x）的最小值为$\frac{1}{2}{a^2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当$a=\frac{1}{2}$时，f（x）为偶函数；当$a≠\frac{1}{2}$时，f（x）为非奇非偶的函数．运用奇偶性的定义，即可判断；
（Ⅱ）对a讨论，①若2a-1≤-1，即a≤0，②若2a-1≥1，即a≥1，③若-1＜2a-1＜1，即0＜a＜1，运用单调性，可得最小值，解方程可得a的值．

解答 解：（Ⅰ）当$a=\frac{1}{2}$时，f（x）为偶函数；
当$a≠\frac{1}{2}$时，f（x）为非奇非偶的函数．
①当$a=\frac{1}{2}$时，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+|x|$，有f（-x）=f（x），
所以f（x）为偶函数；
②当$a≠\frac{1}{2}$时，f（0）=|1-2a|≠0，所以f（x）不是奇函数；
又因为$f（2a-1）=\frac{1}{2}{（2a-1）^2}$，而$f（1-2a）=\frac{1}{2}{（2a-1）^2}+2|1-2a|$，
即f（1-2a）≠f（2a-1），所以f（x）不是偶函数；
综上，当$a≠\frac{1}{2}$时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（Ⅱ）①若2a-1≤-1，即a≤0，
当x∈[-1，1]时，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+x+1-2a=\frac{1}{2}{（x+1）^2}+\frac{1}{2}-2a$，
故f（x）在[-1，1]上递增，
所以$f{（x）_{min}}=f（-1）=\frac{1}{2}-2a$=$\frac{1}{2}{a^2}$，得$a=-2-\sqrt{5}$．
②若2a-1≥1，即a≥1，
当x∈[-1，1]时，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-x-1+2a=\frac{1}{2}{（x-1）^2}-\frac{3}{2}+2a$，
故f（x）在[-1，1]上递减，
所以$f{（x）_{min}}=f（1）=-\frac{3}{2}+2a$=$\frac{1}{2}{a^2}$，得a=1或a=3．
③若-1＜2a-1＜1，即0＜a＜1，
$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{（x-1）^2}-\frac{3}{2}+2a（-1≤x＜2a-1）\\ \frac{1}{2}{（x+1）^2}+\frac{1}{2}-2a（2a-1≤x≤1）\end{array}\right.$，
故f（x）在[-1，2a-1]上递减，在[2a-1，1]上递增；
所以$f{（x）_{min}}=f（2a-1）=2{a^2}-2a+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{a^2}$，得$a=\frac{1}{3}$．
综上，$a=-2-\sqrt{5}$或$a=\frac{1}{3}$或a=1或a=3．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断和函数的最值的求法，注意运用定义和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．