Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）当a=b=1时，求满足f（x）=3x的x的值；
（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，
①判断f（x）在R的单调性并用定义法证明；
②当x≠0时，函数g（x）满足f（x）[g（x）+2]= （3﹣x﹣3x），若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥mg（x）﹣11恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=b=1时，f（x）= ．

若f（x）=3x，即3（3x）2+23x﹣1=0，

解得：3x= ，或3x=﹣1（舍去），

∴x=﹣1；

（2）解：若函数f（x）是定义在R上的奇函数，

则f（﹣x）=﹣f（x），即 = ，

即（3a﹣b）（3x+3﹣x）+2ab﹣6=0，

解得： ，或 ，

经检验， 满足函数的定义域为R，

∴f（x）= = ．

①f（x）在R上单调递减，理由如下：

∵任取x1＜x2，

则 ， ，

则f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＞0，

即f（x1）＞f（x2）

∴f（x）在R上是减函数；

②∵当x≠0时，函数g（x）满足f（x）[g（x）+2]= （3﹣x﹣3x），

∴g（x）=3x+3﹣x，（x≠0），

则g（2x）=32x+3﹣2x=（3x+3﹣x）2﹣2，

不等式g（2x）≥mg（x）﹣11恒成立，

即（3x+3﹣x）2﹣2≥m（3x+3﹣x）﹣11恒成立，

即m≤（3x+3﹣x）+ 恒成立，

仅t=3x+3﹣x，则t＞2，

即m≤t+ ，t＞2恒成立，

由对勾函数的图象和性质可得：当t=3时，t+ 取最小值6，

故m≤6，

即实数m的最大值为6．=

【解析】1、由题意可得，当a=b=1时可将方程转化为关于3x 的一元二次方程再由指数函数的自身的范围3x >0, 即得x=-1.
2、先根据函数的奇偶性确定a、b的值：a=1 b=3再利用函数的单调性定义确定其单调性：在R上递减。最后根据单调性转化不等式 f(t2-2t)<f(2t2 -k)为t2 -2t>2t2-k即t2 +2t-k <0在R上有解，根据判别式大于零可得k的取值范围。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．