Question

12．设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，则S₃=-$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 由于S_n=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，分别令n=1，3，4即可得出a₁，a₂，a₃，进而得到S₃．

解答 解：∵S_n=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，
∴a₁=-a₁-$\frac{1}{2}$，
解得a₁=-$\frac{1}{4}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴令n=3可得，a₃=-a₃-$\frac{1}{8}$-a₂+$\frac{1}{4}$即2a₃=$\frac{1}{8}$-a₂，
令n=4可得，a₄=a₄-$\frac{1}{16}$-（-a₃）+$\frac{1}{8}$，
解得a₃=-$\frac{1}{16}$，a₂=$\frac{1}{4}$．
则S₃=a₁+a₂+a₃=-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{16}$=-$\frac{1}{16}$．
故答案为：-$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查了递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．