【题目】动点P满足 + =2
(1)求动点P的轨迹F1 , F2的方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为 ,求△OAB面 积的最大值.
【答案】
(1)
解:由已知得,点P到点 与 的距离之和等于
且 ,则动点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆
设椭圆的标准方程为
则
即 ,b2=a2﹣c2=1,
动点P的轨迹C的方程为
(2)
解:设直线的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),
原点O到直线l的距离为 ,即 = ,
化简得4n2=3(1+m2),即n2= (1+m2),
将直线l与椭圆C方程联立得 ,化简得(m2+3)y2+2mny+n2﹣3=0,
y1+y2=﹣ ,y1y2= ,
△=4m2n2﹣4(m2+3)(n2﹣3)=12m2﹣12n2+36=12(m2﹣n2+3)=3(m2+9)>0…(6分)
将代入得 ,
∴ ,
令t=m2+3,t≥3,
当 = ,即t=6,m2=3时,S△OAB最大,
∴△OAB面 积的最大值
【解析】(1)由题意可知动点P的轨迹是以F1 , F2为焦点的椭圆,设椭圆方程,由题意求得a和b的值,求得椭圆方程;(2)利用点到直线的距离公式,求得n与m的关系,将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理,弦长公式,及基本不等式得性质,即可求得△OAB面 积的最大值.
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程,需要了解椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能得出正确答案.
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【题目】已知二次函数,关于实数的不等式的解集为.
(1)当时,解关于的不等式:;
(2)是否存在实数,使得关于的函数()的最小值为?若存在,求实数的值;若不存在,说明理由.
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【题目】在圆x2+y2=9上任取一点P,过点P作y轴的垂线段PD,D为垂足,当P为圆与y轴交点时,P与D重合,动点M满足 =2 ;
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)抛物线C′的顶点在坐标原点,并以曲线C在y轴正半轴上的顶点为焦点,直线y=x+3与抛物线C′交于A、B两点,求线段AB的长.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,PC=2,E是PB上的点.
(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若E是PB的中点,求二面角P﹣AC﹣E的余弦值.
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【题目】已知数列{an}是首项为正数的等差数列,a1a2=3,a2a3=5.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(an+1)2 ,求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=﹣x2+2x (Ⅰ)求函数f(x)在R上的解析式;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增,求实数a的取值范围.
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【题目】直线l过P(1,2),且A(2,3),B(4,﹣5)到l的距离相等,则直线l的方程是( )
A.4x+y﹣6=0
B.x+4y﹣6=0
C.3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0
D.2x+3y﹣7=0或x+4y﹣6=0
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