Question

【题目】设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（ ）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0，恰有4个不同的实数根，则实数a（a＞0，a≠1）的取值范围是（ ）
A.（ ，1）
B.（1，4）
C.（1，8）
D.（8，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：对于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），

∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），

∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．

又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（ ）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，

若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0，恰有4个不同的实数解，

则函数y=f（x）与y=log a（x+2），在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：

又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，

则对于函数y=log a（x+2），根据题意可得，当x=6时的函数值小于1，

即log a8＜1，

由此计算得出：a＞8，

∴a的范围是（8，+∞），

所以答案是：D．