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    如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则
    AE
    •
    BD
    的值为
    4
    4
    ．
    分析：利用向量的基本定理，结合数量积的定义进行求解．
    解答：解：∵E为CD的中点，∴
    AE
    =
    AD
    +
    DE
    =
    AD
    +
    1
    2
    DE
    =
    AD
    +
    1
    2
    AB
    ，
    BD
    =
    AD
    -
    AB
    ，
    ∴
    AE
    •
    BD
    =(
    AD
    +
    1
    2
    AB
    )?(
    AD
    -
    AB
    )    =
    AD
    2    -
    1
    2
    AB
    2    -
    1
    2
    AD
    ?
    AB
    ，
    ∵边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，
    ∴
    AD
    ?
    AB
    =|
    AD|
    ?|
    AB|
    cos?600=4×4×
    1
    2
    =8    ，
    ∴
    AE
    •
    BD
    =42-
    1
    2
    ×42-
    1
    2
    ×8=16-8-4=4    ．
    故答案为：4．
    点评：本题主要考查平面向量的基本定理的应用，以及平面向量的数量积公式的应用．
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    （2012•福州模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
    （Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
    （Ⅱ）记三棱锥P-ABD体积为V1，四棱锥P-BDEF体积为V2．求当PB取得最小值时的V1：V2值．

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    （1）求证：BD⊥平面POA
    （2）当点O 在何位置时，PB取得最小值？
    （3）当PB取得最小值时，求四棱锥P-BDEF的体积．

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    （2012•茂名二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，点D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED
    （1）求证：BD⊥平面POA
    （2）设AO∩BD=H，当O为CH中点时，若点Q满足
    AQ
    =
    QP
    ，求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值．

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    （2012•汕头二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABEFD．
    （1）求证：BD⊥平面POA；
    （2）记三棱锥P-ABD体积为V1，四棱锥P-BDEF体积为V2，且
    V1
    V2
    =
    4
    3
    ，求此时线段PO的长．

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