Question

已知f（x）=2x+a，g（x）=

1

4

（x²+3），
（1）若g[f（x）]=x²+x+1，求实数a的值；
（2）若关于x的方程f[g（x）]+f（x）=0的两个根m，n满足m＜1＜n，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数g（x）的解析式化简：g[f（x）]，再利用条件：g[f（x）]=x²+x+1，比较两边对应项的系数，建立关于a的方程，即可求出a 值．
（2）先化简f[g（x）]+f（x），得出关于x的方程f[g（x）]+f（x）=0的两个根m，n满足m＜1＜n．也就是关于x的方程x²+4x+4a+3=0的两个根m，n满足m＜1＜n，设h（x）=x²+4x+4a+3，由二次函数的图象与性质即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵g[f（x）]=g（2x+a）=

1

4

[（2x+a）²+3]=

4x2+4ax+a2+3

4

g[f（x）]=x²+x+1，x∈R
∴

4x2+4ax+a2+3

4

=x²+x+1，x∈R．（4分）
比较两边对应项的系数，有

4a 4 =1 a2+3 4 =1

∴a=1．（6分）
（2）因为f[g（x）]+f（x）=2•g（x）+a+2x+a=

1

2

（x²+4x+4a+3）．（8分）
所以关于x的方程f[g（x）]+f（x）=0的两个根m，n满足m＜1＜n．
也就是关于x的方程x²+4x+4a+3=0的两个根m，n满足m＜1＜n．（9分）
设h（x）=x²+4x+4a+3，由二次函数的图象与性质可知h（1）＜0
即4a+8＜0．（11分）
∴a＜-2．（12分）

点评：本小题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程的综合运用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．