Question

如图，已知A（-2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=-2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：如图，在直角坐标系中，记双曲线的半焦距为c（c=2），h是梯形的高，用定比分点坐标公式可求得E点坐标x和y的表达式．设双曲线方程，将点C、E坐标和e分别代入双曲线方程联立后求得e和h的关系式，根据λ的范围求得e的范围．
解答：解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，
设c为双曲线的半焦距（c=2），
依题意，记 ，
h是梯形的高，
由定比分点坐标公式得 ，
．
设双曲线的方程为 ，则离心率 ，
由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和 代入双曲线的方程，得 ，①
．②
由①式得 ，③
将③式代入②式，整理得 ，
故
由题设 得，，
解得 ，
所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．
故选A．
点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、定比分点等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．