Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是C₁C、B₁C₁的中点.

求证：MN∥平面A₁BD.

Answer 1

证明略

解析:

  方法一  如图所示，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则可求得

M（0，1，），N（，1，1），

D（0，0，0），A₁（1，0，1）,B（1，1，0），

于是=（，0，），

=（1，0，1），=（1，1，0）.

设平面A₁BD的法向量是

n=（x，y，z）.

则n·=0，且n·=0，

得

取x=1，得y=-1，z=-1.

∴n=（1，-1，-1）.

又·n=（，0，）·（1，-1，-1）=0，

∴⊥n,

又∵平面A₁BD，∴MN∥平面A₁BD.

方法二  ∵=-= -

=（-）=,

∴∥，又∵MN平面A₁BD.

∴MN∥平面A₁BD.