Question

已知函数f（x）=ln（1+ax），g（x）=x²-ax，其中a为实数．
（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）+g（x）的极小值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数y=f（x）与函数y=g（x）在区间[1，+∞）上单调性相同？若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若对任意的实数a∈（1，2），总存在一个与a无关的实数x₁，且x1∈[

1

2

，1]，使得f(x1)+g(x1)＞m-

1

5

a2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）将a=2代入到解析式中，并求导．令f′（x）=0，求出极值点，并根据单调性判断极小值．
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a，使得函数y=f（x）与函数y=g（x）在区间[1，+∞）上单调性相同，再利用导数研究它们的单调性，求出实数a的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（III）记h（x）=f（x）+g（x），要对任意的实数a∈（1，2），总存在一个与a无关的实数x₁，且x1∈[

1

2

，1]，使得f(x1)+g(x1)＞m-

1

5

a2恒成立，则h（x）_max＞m-

1

5

a2，求出函数的最大值，建立不等式，即可确定实数m的取值范围．

解答：解：
（Ⅰ）当a=2时，(f(x)+g(x))′=

2

1+2x

+2x-2=

2x(2x-1)

1+2x

(x＞-

1

2

)…（1分）
当x∈(

1

2

，+∞)时，（f（x）+g（x））'＞0，函数f（x）+g（x）递增；
当x∈(0，

1

2

)时，（f（x）+g（x））'＜0，函数f（x）+g（x）递减；
当x∈(-

1

2

，0)时，（f（x）+g（x））'＞0，函数f（x）+g（x）递增；…（2分）
所以当x=

1

2

时，函数f（x）+g（x）取极小值-

3

4

+ln2；…（3分）
（Ⅱ）由已知得1+ax＞0，又因为f′(x)=

a

1+ax

，g′(x)=2x-a，…（4分）
由题意得f'（x）•g'（x）≥0且a≠0在[1，+∞）上恒成立，
即

a

1+ax

•(2x-a)≥0且a≠0在[1，+∞）上恒成立，
∴

1+ax＞0 a＞0 2x-a≥0

或

1+ax＞0 a＜0 2x-a≤0

在[1，+∞）上恒成立，…（5分）
所以实数a的取值范围为（0，2]．…（6分）
（Ⅲ）记h（x）=f（x）+g（x），则h（x）=ln（1+ax）+x²-ax，
∴h′(x)=

a

1+ax

+2x-a=

2ax2+(2-a2)x

1+ax

=

x[2ax-(a2-2)]

1+ax

，
∵1＜a＜2∴

a2-2

2a

-

1

2

=

(a-2)(a+1)

2a

＜0，即

a2-2

2a

＜

1

2

，
所以h（x）在[

1

2

，1]上单调递增，∴h（x）_max=h（1）=ln（1+a）+1-a，…（8分）
所以只须ln(1+a)+1-a＞m-

1

5

a2对任意的a∈（1，2）恒成立，
即m＜ln(1+a)+1-a+

1

5

a2对任意的a∈（1，2）恒成立；
记函数H(a)=ln(1+a)+1-a+

1

5

a2(1＜a＜2)，
由H′(a)=

1

1+a

-1+

2

5

a=

2a2-3a

5(1+a)

得H（a）在(1，

3

2

]上单调递减，在(

3

2

，2)单调递增，∴H(a)min=H(

3

2

)=ln

5

2

-

1

20

，
所以实数m的取值范围为(-∞，ln

5

2

-

1

20

)．…（10分）

点评：在高中阶段，导数是研究函数性质的重要而有效的工具之一，包括函数的单调性，极值，最值等，本题就是利用导函数研究函数的极值．近两年的高考题中，对导数部分的考查是越来越常见，其重要性也不言而喻．