精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,在四面体ABCD中,已知∠ABD=∠CBD=60°,AB=BC=2,
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若平面ABD⊥平面CBD,且BD=
5
2
,求二面角C-AD-B的余弦值.
考点:二面角的平面角及求法,棱锥的结构特征,空间中直线与直线之间的位置关系
专题:空间位置关系与距离,空间角
分析:(1)由已知得△ABD≌△CBD,从而AD=CD,取AC的中点E,连结BE,DE,则BE⊥AC,DE⊥AC,从而AC⊥平面BED,由此能证明AC⊥BD.
(2)过C作CH⊥BD于点H,由已知得CH⊥平面ABD,过H做HK⊥AD于点K,连接CK,则∠CKH为二面角C-AD-B的平面角,由此能求出二面角C-AD-B的余弦值.
解答: (1)证明:∵∠ABD=∠CBD,AB=BC,BD=BD.
∴△ABD≌△CBD,
∴AD=CD.
取AC的中点E,连结BE,DE,则BE⊥AC,DE⊥AC.
又∵BE∩DE=E,
BE?平面BED,BD?平面BED,
∴AC⊥平面BED,
∴AC⊥BD.

(2)解:过C作CH⊥BD于点H.则CH?平面BCD,
又∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
∴CH⊥平面ABD. 
过H做HK⊥AD于点K,连接CK. 
∵CH⊥平面ABD,∴CH⊥AD,又HK∩CH=H,
∴AD⊥平面CHK,∴CK⊥AD.
∴∠CKH为二面角C-AD-B的平面角. 
连接AH.∵△ABD≌△CBD,∴AH⊥BD.
∵∠ABD=∠CBD=60°,AB=BC=2,
∴AH=CH=
3
,BH=1.∵BD=
5
2
,∴DH=
3
2
. 
∴AD=
21
2
,∴HK=
AH•DH
AD
=
3
7
7

∴tan∠CKH=
CH
HK
=
21
3

∴cos∠CKH=
30
10
,∴二面角C-AD-B的余弦值为
30
10
点评:本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设a,b,c依次是方程x+sinx=1,x+sinx=2,x+
1
2
sinx=2的根,并且0<x<
π
2
,则a,b,c的大小关系是(  )
A、a<b<c
B、a<c<b
C、c<b<a
D、b<c<a

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图1,△ABC是等腰三角形,其中∠A=90°,且DB⊥BC,∠BCD=30°,现将△ABC沿边BC折起,使得二面角A-BC-D大小为30°(如图2),则异面直线BC与AD所成的角为(  )
A、30°B、45°
C、60°D、90°

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知
1+sinθ+cosθ
1+sinθ-cosθ
=
1
2
,求cos2θ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知实数x,y满足
x-2y+1≥0
x<2
x+y-1≥0
,则z=2x-2y-1的取值范围是(  )
A、[
5
3
,5]
B、[0,5]
C、[
5
3
,5)
D、[-
5
3
,5)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线x2-
y2
2
=1,过点P(2,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=log2an,cn=
1
bnbn+1
,记数列{cn}的前n项和Tn,求Tn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

讨论函数f(x)=
1-x2
的单调性.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知下列a>0,b>0,给出下列四个不等式:
①a+b+
1
ab
≥2
2

②(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4;
a2+b2
ab
≥a+b;
④a+
1
a+4
≥-2.
其中正确的不等式有
 
(只填序号).

查看答案和解析>>

同步练习册答案