Question

20．已知f（x）=x+1，g（x）=2x+1，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{f（{a}_{n}），n为奇数}\\{g（{a}_{n}），n为偶数}\end{array}\right.$，则a₂₀₁₆=（　　）

• A． 2²⁰¹⁶-2016
• B． 2¹⁰⁰⁷-2016
• C． 2²⁰¹⁶-2
• D． 2¹⁰⁰⁹-2

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{f（{a}_{n}），n为奇数}\\{g（{a}_{n}），n为偶数}\end{array}\right.$，可得a₂=f（a₁）=2，n=2k（k∈N^*）为偶数时，a_2k+1=g（a_2k）=2a_2k+1；n=2k-1（k∈N^*）为偶数时，a_2k=f（a_2k-1）=a_2k-1+1．可得a_2k+2=a_2k+1+1=2a_2k+2，变形为a_2k+2+2=2（a_2k+2），再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{f（{a}_{n}），n为奇数}\\{g（{a}_{n}），n为偶数}\end{array}\right.$，
a₂=f（a₁）=f（1）=2，
n=2k（k∈N^*）为偶数时，a_2k+1=g（a_2k）=2a_2k+1；
n=2k-1（k∈N^*）为奇数时，a_2k=f（a_2k-1）=a_2k-1+1．
∴a_2k+2=a_2k+1+1=2a_2k+2，
变形为a_2k+2+2=2（a_2k+2），
∴数列{a_2k+2}是等比数列，首项为4，公比为2．
∴a_2k+2=4×2^k-1，
∴a_2k=2^k+1-2．
∴a₂₀₁₆=2¹⁰⁰⁹-2．
故选：D．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．