Question

设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4．

Answer 1

证明：∵ξ所有可能取的值为0，1．
P（ξ=0）=1-p，P（ξ=1）=p，
∴Eξ=0×（1-p）+1×p=p．
∴Dξ=（0-p）²×（1-p）+（1-p）²×p
=p（1-p）．
结论得证．
分析：事件A在一次试验中发生次数ξ的可能取值是0，1，根据事件A发生的概率p，写出事件A不发生的概率，表示出方差的表示式，化简整理，应用基本不等式求出最大值，结论得证．
点评：本题考查离散型随机变量的方差和基本不等式的应用，是一个综合题，考查同学们解题的能力，概率经常与其他的知识点组合．