Question

(本小题满分12分）有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：所用的时间（天数）

(I)为进行某项研究，从所用时间为12天的60辆汽车中随机抽取6辆.
(i) 若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；
(ii)若从（i)的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取两辆汽车，求这两辆汽车至少有一辆通过公路1的概率.
(II)假设汽车4只能在约定日期(某月某日）的前11天出发，汽车1只能在约定日期的前12天出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车4和汽车S应如何选择各自的路径.

Answer 1

（Ⅰ）（i）公路1抽取辆汽车,
公路2抽取辆汽车.……………………2分
(ii) 通过公路1的两辆汽车分别用表示，通过公路2的4辆汽车分别用表示，
任意抽取2辆汽车共有15种可能的结果：
，，，，，，，，，，，，，，，………………………4分
其中至少有1辆经过公路1的有9种，
所以至少有1辆经过1号公路的概率.…………………6分
　（Ⅱ）频率分布表，如下：

所用时间	10	11	12	13
公路1的频率	0.2	0.4	0.2	0.2
公路2的频率	0.1	0.4	0.4	0.1

………………………………8分
设分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙.
　,　   .
∴　汽车A应选择公路1. …………………………10分
　,　,
∴　汽车B应选择公路2.…………………………12分

(I)(i)根据频数表，可求出所用时间为12天时，公路1，公路2各占的车辆的比例，然后乘以6即可得到要抽取的车辆数。
(ii)属于古典概型概率，要把试验的结果一一列出来，再把事件包含的结果列出来。然后根据古典概型概率计算公式计算即可。
（II）选择各路径的事件之间是互斥的。概率互斥事件概率公式易求所求事件的概率。