Question

8．已知α，β为三角形的两个内角，cosα=$\frac{1}{7}$，sin（α+β）=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，则β=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．．

Answer 1

分析 由已知数据可得sinα和cos（α+β）的值，而sinβ=sin[（α+β）-α]=cosαsin（α+β）-sinαcos（α+β），代值计算可得．

解答 解：∵α，β为三角形的两个内角，cosα=$\frac{1}{7}$，
∴sin$α=\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∵sin（α+β）=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，cos（α+β）=$±\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=±$\frac{11}{14}$，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{1}{7}$-（±$\frac{11}{14}$）×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-$\frac{39\sqrt{3}}{98}$（舍去），
∴β=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系，属中档题．