Question

公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄是a₃与a₇的等比中项，S₈=32，则S₁₀=

 

．

Answer 1

分析：设出等差数列的等差d，且d不为0，根据a₄是a₃与a₇的等比中项，S₈=32，利用等比数列的性质和等差数列的前n项和的公式化简得到关于等差数列首项和公差方程组，求出方程组的解集即可得到首项和公差，然后再利用等差数列的前n项和的公式求出S₁₀即可．

解答：解：设公差为d（d≠0），则有

(a1+2d)(a1+6d)=(a1+3d)2 8a1+ 8•7 2 d=32

，化简得：

d(3 d+2a1)=0① 2a1+7d=8②

，
因为d≠0，由①得到2a₁+3d=0③，②-③得：4d=8，解得d=2，把d=2代入③求得a₁=-3，
所以方程组的解集为

a1=-3 d=2

，
则S₁₀=10×（-3）+

10×9

2

×2=60．
故答案为：60

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．本题解法属基本量法．在解由等差（比）数列中的部分项生成等比（差）数列中部分项问题时，要特别注意新数列中项在新、老数列中的各自属性及其表示．