Question

4．如图半⊙O的直径为2，A为直径MN延长线上一点，且OA=2，B为半圆周上任一点，以AB为边作等边△ABC（A、B、C按顺时针方向排列）问∠AOB为多少时，四边形OACB的面积最大？这个最大面积是多少？

Answer 1

分析 设∠AOB=θ，根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．

解答 解：四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积
设∠AOB=θ，
则△ABC的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}（O{B}^{2}+O{A}^{2}-2OB•OA•cosθ）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}（5-4cosθ）$
△OAB的面积=$\frac{1}{2}$•OA•OB•sinθ=$\frac{1}{2}$•2•1•sinθ=sinθ
四边形OACB的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}（5-4cosθ）$+sinθ=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2sin（θ-60°）
∴当θ-60°=90°，
即θ=150°时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，确定函数的模型是关键．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，属于中档题．