Question

在二项式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（1）求展开式的第四项；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中各项的系数和；
（4）求展开式的有理项．

Answer 1

分析：观察题设及四个问题，知本题是考查二项式系数的性质与等差数列性质的题，由前三项系数成等差数列建立方程求出n，
（1）由二项展开式的项的公式求出第四项；
（2）由二项展开式的项的公式，令x的指数为0即可求出常数项；
（3）可令二项式中的变量为1，计算可得二项式各项的系数和；
（4）令二项展开式中x的指数为整数即可求出所有的有理项．

解答：解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为C_n⁰，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

∴

C

0 n

+

1

4

C

2 n

= 2×

1

2

C

1 n

∴n²-9n+8=0
解得n=8．
（1）第四项 T4=

C

3 8

(

3	x

)5 (-

1

2 3 x

)3=-7 x

2

3

（2）通项公式为 Tr+1=

C

r 8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，
令

8-2r

3

=0，得r=4
所以展开式中的常数项为 T5=

C

4 8

(-

1

2

)4=

35

8

（3）令二项式中的x=1，则有展开式中各项的系数和为(1-

1

2

)8=(

1

2

)8…（10分）
（4）通项公式为 Tr+1=

C

r 8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，考察x的指数知，r=1，4，7时，x的指数为整数，即：
T₂=-4x²，T5=

35

8

，T8=-

1

16x2

此三项为展开式中的有理项…（14分）

点评：本题考查二项式定理的应用，解题的关键是熟练掌握二项式定理及二项项的展开式，二项式系数的性质本题属于公式运用型，考查了推理判断的能力及计算能力