Question

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，

3

2

）到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求弦长|PQ|．

Answer 1

（1）由题设知：2a=4，即a=2，
将点（1，

3

2

）代入椭圆方程得

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，
解得b²=3
∴c²=a²-b²=4-3=1，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
焦点F₁、F₂的坐标分别为（-1，0）和（1，0）
（2）由（Ⅰ）知A（-2，0），B（0，

3

），∴k_PQ=k_AB=

3

2

，
∴PQ所在直线方程为y=

3

2

（x-1），
由

y= 3 2 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

得2x²-2x-3=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，x₁-x₂=-

3

2

，
弦长|PQ|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

7

2

•

7

=

7

2

．