Question

【题目】已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x）（a∈R）的图象关于y轴对称．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求a的值；
（3）若函数g（x）=x﹣2f（x）﹣2t有两个不同的零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（﹣1，1）
（2）解：依题意，可知f（x）为偶函数，所以f（﹣x）=f（x），即log2（1﹣x）+alog2（1+x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x），

即（a﹣1）[log2（1+x）﹣log2（1﹣x）]=0，即 在（﹣1，1）上恒成立，所以a=1

（3）解：解法一：由（2）可知 ，

所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t，它的图象的对称轴为直线 ．

依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，

只需 ，解得 ．

所以实数t的取值范围是 ．

解法二：由（2）可知 ，

所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t．

依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，即方程2t=x2+x﹣1在（﹣1，1）内有两个不等实根，

即函数y=2t和y=x2+x﹣1在（﹣1，1）上的图象有两个不同的交点．

在同一坐标系中，分别作出函数y=x2+x﹣1（﹣1＜x＜1）和y=2t的图象，如图所示．

观察图形，可知当 ，即 时，两个图象有两个不同的交点．

所以实数t的取值范围是 ．

【解析】（1）根据对数的真数大于零，解出不等式，即可得出定义域，（2）由于f（x）为偶函数，所以f（﹣x）=f（x），即log2（1﹣x）+alog2（1+x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x），( a 1 ) log2 = 0 在（﹣1，1）上恒成立，所以a=1,（3）解法一：根据函数零点定理可得关于t的方程组，解得即可，解法二：分别作出函数y=x2+x﹣1（﹣1＜x＜1）和y=2t的图象，由图象可得.
【考点精析】通过灵活运用函数的定义域及其求法和函数图象的作法，掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象即可以解答此题．