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如图,在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,
(1)作出面A1BC1与面ABCD的交线l,判断l与直线A1C1位置关系,并给出证明;
(2)证明B1D⊥面A1BC1
(3)求直线AC到面A1BC1的距离;
(4)若以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,试写出C,C1两点的坐标.
(1)在平面ABCD内过点B作AC的平行线BE,
∵ACA1C1,ACBE,
∴BEA1C1
∴面A1BC1与面ABCD的交线l与BE重合,
即直线BE就是所求的直线l.
∵BEA1C1
l与BE重合,
∴lA1C1
(2)证明:连接B1D1
∵A1B1C1D1是正方形,
∴A1C1⊥B1D1
∵A1C1⊥DD1
∴A1C1⊥面DBB1D1
∴A1C1⊥B1D.
同理A1B⊥面ADC1B1
∴A1B⊥B1D,
∵A1C1∩A1B=A1
∴B1D⊥面A1BC1
(3)∵ACA1C1,且AC在面A1BC1外,A1C1?面A1BC1
∴AC面A1BC1
∴直线AC到面A1BC1的距离即为点A到面A1BC1的距离,记为h,
在三棱锥中A-A1BC1中,
VA_A1BC1=VC1-ABA1
∵正方体A1B1C1D1-ABCD棱长为a,
VA-A1BC1=
1
3
SA1BC1•h=
1
3
×
1
2
×(
2
a)
2
×h
×sin60°=
3
a2
6
h

VC1-ABA1=
1
3
S△ABA1
•A1C1=
1
3
1
2
•a•a•
2
a
=
2
6
a3

VA_A1BC1=VC1-ABA1
h=
6
3
a

(4)若以A为坐标原点,
分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
∵正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为a,
∴C(a,a,0),C1(a,a,a).
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