Question

【题目】如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，底面，点分别为，的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

（1）先证明，，可得平面从而平面平面；

（2）由题意可知两两垂直，分别以方向为轴建立坐标系，求出平面的法向量及，代入公式可得未知量的方程，解之即可.

（1）证明：∵，为的中点，

∴

又平面，平面，∴

∵

∴平面

∵平面

∴平面平面

（2）解：如图，由（1）知，，，点，分别为的中点，

∴，∴，，又，

∴两两垂直，分别以方向为轴建立坐标系.

则，，，，

设，

所以

，，设平面的法向量，则

，，令，则，，

∴

由已知 或（舍去）

故

故线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，

此时为线段的中点.