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2.已知数列{an}中.a1=2,a2=3,其前n项和Sn满足Sn+2+Sn=2Sn+1+1(n∈N*);数列{bn}中,b1=a1,bn+1=4bn+6(n∈N*).
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=bn+2+(-1)n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.

分析 (1)把已知数列递推式变形,可得数列{an}是以a1=2为首项,公差为1的等差数列,由此求得数列{an}的通项公式;再由b1=a1,bn+1=4bn+6,构造等比数列{bn+2},由等比数列的通项公式求得{bn}的通项公式;
(2)把数列{an},{bn}的通项公式代入cn=bn+2+(-1)n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$,整理后由cn+1-cn>0可得(-1)n-1λ<2n-1恒成立.然后分n为偶数和奇数求得非零整数λ的值.

解答 解:(1)由已知,Sn+2+Sn=2Sn+1+1,得(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1-Sn)=1,
即an+2-an+1=1,且a2-a1=1.
∴数列{an}是以a1=2为首项,公差为1的等差数列,
∴an=n+1. 
由b1=a1=2,bn+1=4bn+6,得bn+1+2=4(bn+2),
∴数列{bn+2}构成以4为首项,以4为公比的等比数列,
则${b}_{n}+2={4}^{n}$,${b}_{n}={4}^{n}-2$;
(2)∵an=n+1,${b}_{n}={4}^{n}-2$,
∴cn=bn+2+(-1)n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$=4n+(-1)n-1•λ•2n+1
要使cn+1>cn恒成立,则cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)n•λ•2n+2-(-1)n-1•λ•2n+1>0恒成立,
∴3•4n-3λ•(-1)n-12n+1>0恒成立,
∴(-1)n-1λ<2n-1恒成立.
(ⅰ)当n为奇数时,即λ<2n-1恒成立,当且仅当n=1时,2n-1有最小值为1,∴λ<1.
(ⅱ)当n为偶数时,即λ>-2n-1恒成立,当且仅当n=2时,-2n-1有最大值-2,∴λ>-2.
即-2<λ<1,又λ为非零整数,则λ=-1.
综上所述,存在λ=-1,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn

点评 本题考查数列递推式,考查了等差关系和等比关系的确定,训练了函数恒成立问题,体现了分类讨论的数学思想方法,属中高档题.

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