Question

2．已知数列{a_n}中．a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+2+S_n=2S_n+1+1（n∈N^*）；数列{b_n}中，b₁=a₁，b_n+1=4b_n+6（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=b_n+2+（-1）^n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式变形，可得数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列，由此求得数列{a_n}的通项公式；再由b₁=a₁，b_n+1=4b_n+6，构造等比数列{b_n+2}，由等比数列的通项公式求得{b_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=b_n+2+（-1）^n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$，整理后由c_n+1-c_n＞0可得（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．然后分n为偶数和奇数求得非零整数λ的值．

解答 解：（1）由已知，S_n+2+S_n=2S_n+1+1，得（S_n+2-S_n+1）-（S_n+1-S_n）=1，
即a_n+2-a_n+1=1，且a₂-a₁=1．
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列，
∴a_n=n+1． 
由b₁=a₁=2，b_n+1=4b_n+6，得b_n+1+2=4（b_n+2），
∴数列{b_n+2}构成以4为首项，以4为公比的等比数列，
则${b}_{n}+2={4}^{n}$，${b}_{n}={4}^{n}-2$；
（2）∵a_n=n+1，${b}_{n}={4}^{n}-2$，
∴c_n=b_n+2+（-1）^n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ⁺¹，
要使c_n+1＞c_n恒成立，则c_n+1-c_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1•λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，∴λ＜1．
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，∴λ＞-2．
即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系和等比关系的确定，训练了函数恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想方法，属中高档题．