分析 (1)把已知数列递推式变形,可得数列{an}是以a1=2为首项,公差为1的等差数列,由此求得数列{an}的通项公式;再由b1=a1,bn+1=4bn+6,构造等比数列{bn+2},由等比数列的通项公式求得{bn}的通项公式;
(2)把数列{an},{bn}的通项公式代入cn=bn+2+(-1)n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$,整理后由cn+1-cn>0可得(-1)n-1λ<2n-1恒成立.然后分n为偶数和奇数求得非零整数λ的值.
解答 解:(1)由已知,Sn+2+Sn=2Sn+1+1,得(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1-Sn)=1,
即an+2-an+1=1,且a2-a1=1.
∴数列{an}是以a1=2为首项,公差为1的等差数列,
∴an=n+1.
由b1=a1=2,bn+1=4bn+6,得bn+1+2=4(bn+2),
∴数列{bn+2}构成以4为首项,以4为公比的等比数列,
则${b}_{n}+2={4}^{n}$,${b}_{n}={4}^{n}-2$;
(2)∵an=n+1,${b}_{n}={4}^{n}-2$,
∴cn=bn+2+(-1)n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$=4n+(-1)n-1•λ•2n+1,
要使cn+1>cn恒成立,则cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)n•λ•2n+2-(-1)n-1•λ•2n+1>0恒成立,
∴3•4n-3λ•(-1)n-12n+1>0恒成立,
∴(-1)n-1λ<2n-1恒成立.
(ⅰ)当n为奇数时,即λ<2n-1恒成立,当且仅当n=1时,2n-1有最小值为1,∴λ<1.
(ⅱ)当n为偶数时,即λ>-2n-1恒成立,当且仅当n=2时,-2n-1有最大值-2,∴λ>-2.
即-2<λ<1,又λ为非零整数,则λ=-1.
综上所述,存在λ=-1,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn.
点评 本题考查数列递推式,考查了等差关系和等比关系的确定,训练了函数恒成立问题,体现了分类讨论的数学思想方法,属中高档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4 | B. | 6 | C. | 8 | D. | 10 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -$\frac{4}{17}$ | B. | $\frac{4}{5}$ | C. | $±\frac{4}{17}$ | D. | $\frac{4}{17}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | f(x)=x2-2x | B. | f(x)=x2-1 | C. | f(x)=x2-3x+2 | D. | f(x)=x2+2x |
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