Question

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）图象的最高点D的坐标为$（\frac{π}{8}，2）$，与点D相邻的最低点坐标为$（\frac{5π}{8}，-2）$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求满足f（x）=1的实数x的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数f（x）的部分图象得出A、T的值，求出ω、φ的值，即可写出f（x）；
（Ⅱ）由f（x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质求出f（x）=1的实数解即可．

解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的部分图象知，
A=2，$\frac{T}{2}=\frac{5π}{8}-\frac{π}{8}=\frac{π}{2}$，
解得T=π，---------（2分）
∴$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$；---------（3分）
又∵$（\frac{π}{8}，2）$在函数f（x）上，
∴$2=2sin（2×\frac{π}{8}+ϕ）$，
∴$sin（\frac{π}{4}+ϕ）=1$；--------（4分）
∴$\frac{π}{4}+ϕ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
即$ϕ=\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$；---------（5分）
又∵|ϕ|＜π，∴$ϕ=\frac{π}{4}$，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$；---------（6分）
（Ⅱ）由$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）=1$，
得$sin（2x+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，
所以$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{6}+2kπ$或$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{6}+2kπ$，k∈Z；-------------（9分）
即$x=-\frac{π}{24}+kπ$或$x=\frac{7π}{24}+kπ$，k∈Z；----------------（11分）
所以实数x的集合为{x|$x=-\frac{π}{24}+kπ$或$x=\frac{7π}{24}+kπ$，k∈Z}．---------（12分）

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．