Question

7．求下列函数的定义域：
（1）y=$\sqrt{lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{3x-2}{2x-1}}$
（2）y=$\frac{1}{\sqrt{1-lo{g}_{a}（x+a）}}$（a＞0，a≠1）
（3）y=log_（x+1）（16-4^x）
（4）已知函数f（x）的定义域是[0，1]，求啊函数y=f[${log}_{\frac{1}{3}}$（3-x）]的定义域．

Answer 1

分析 （1）由根式内部的代数式大于等于0，分别求解对数不等式和分式不等式得答案；
（2）由分母中根式内部的代数式大于0，然后分类求解对数不等式得答案；
（3）由对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0联立不等式组求解；
（4）由函数f（x）的定义域是[0，1]，利用${log}_{\frac{1}{3}}$（3-x）在f（x）的定义域内求解对数不等式组得答案．

解答 解：（1）由$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{3x-2}{2x-1}≥0$，得0$＜\frac{3x-2}{2x-1}≤1$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3x-2}{2x-1}＞0}\\{\frac{3x-2}{2x-1}≤1}\end{array}\right.$，解得$\frac{2}{3}＜x≤1$．
∴y=$\sqrt{lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{3x-2}{2x-1}}$的定义域为$（\frac{2}{3}，1]$；
（2）由1-log_a（x+a）＞0，得log_a（x+a）＜1．
若0＜a＜1，则x+a＞a，解得x＞0；若a＞1，则0＜x+a＜a，解得-a＜x＜0．
∴当0＜a＜1时，原函数的定义域为（0，+∞），
当a＞1时，原函数的定义域为（-a，0）；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x+1≠1}\\{16-{4}^{x}＞0}\end{array}\right.$，解得：-1＜x＜2且x≠0．
∴y=log_（x+1）（16-4^x）的定义域为（-1，0）∪（0，2）；
（4）∵函数f（x）的定义域是[0，1]，
∴由0≤${log}_{\frac{1}{3}}$（3-x）≤1，得$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}（3-x）≥0}\\{lo{g}_{\frac{1}{3}}（3-x）≤1}\end{array}\right.$，解得2$≤x≤\frac{8}{3}$．
∴函数y=f[${log}_{\frac{1}{3}}$（3-x）]的定义域为[2，$\frac{8}{3}$]．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查分式不等式、对数不等式的解法，训练了与抽象函数有关的函数定义域的求法，是中档题．