Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x³．
（1）求f（x）在[1，5]上的表达式；
（2）若A={x|f（x）＞a，x∈R}，且A≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x+2）=-f（x）可推知函数为周期函数周期为4，再利用周期性求得f（x）在[1，3]和[3，5]的解析式．
（2）根据f（x）的周期函数，从一个周期来考虑f（x）的值域．根据（1）中f（x）的解析式求得函数f（x）的值域，进而求出a的范围．

解答：解：（1）由f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），故f（x）的周期为4
（1）当x∈[3，5]时，x-4∈（-1，1]，
∴f（x-4）=（x-4）³
又T=4，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）³，3≤x≤5
（2）当x∈[1，3]时，x-2∈[-1，1]，
∴f（x-2）=（x-2）³
又f（x）=-f（x-2）=-（x-2）³，1≤x≤3，
故f（x）=

-(x-2)3     1≤x≤3 (x-4)3       3≤x≤5

（2）∵f（x）的周期函数，
∴f（x）的值域可以从一个周期来考虑
x∈[1，3]时，f（x）∈（-1，1]
x∈[3，5]时，f（x）∈[-1，1]
∴f（x）＞a，对x∈R，A≠∅，
∴-1＜a＜1

点评：本题主要考查了函数的周期性．解题的关键是求出f（x）在不同区间上的解析式．