Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点到椭圆E的两个焦点距离之和为2

3

，椭圆E的离心率为

6

3

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若b为椭圆E的半短轴长，记C（0，b），直线l经过点C且斜率为2，与直线l平行的直线AB过点（1，0）且交椭圆于A、B两点，求△ABC的面积S的值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，先求出a，b，c的值，然后再求椭圆E的方程．
（2）由题设知点C（0，1），直线L的方程为：y=2x+1，直线AB的方程为：y=2x-2．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将y=2x-2代入椭圆E的方程

x2

3

+y2=1，整理可得：13x²-24x+9=0，再由根与系数的关系和点到直线的距离公式能够求出△ABC的面积S的值．

解答：解：（1）由题意，得

2a=2 3 c a = 6 3 a2=b2+c2

（2分）
∴

a= 3 b=1 c= 2 .

（4分）
∴椭圆E的方程为

x2

3

+y2=1（5分）
（2）由（1）可知点C（0，1），易知直线L的方程为：y=2x+1（6分）
直线AB的方程为：y=2x-2（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将y=2x-2代入椭圆E的方程

x2

3

+y2=1
整理可得：13x²-24x+9=0，（8分）
则x1+x2=

24

13

，x1x2=

9

13

，可得|x1-x2|=

6 3

13

（10分）
故|AB|=

1+22

|x1-x2|=

5

×

6 3

13

（11分）
设点C（0，1）到直线AB的距离为d，由点到直线的距离公式可得：d=

3

1+22

=

3

5

（13分）
∴△ABC的面积S=

1

2

×|AB|×d=

1

2

×

5

×

6 3

13

×

3

5

=

9 3

13

．（14分）

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘条件，合理地运用韦达定理和点到直线的距离公式进行解题．